Fun12es de Vari3veis aleat4rias

Apuntes

Funções de Variáveis aleatórias Funções de Variáveis aleatórias Funções de variáveis aleatórias Uma v.a. X é uma função do espaço amostral Ω (munido da σ-álgebra de acontecimentos A) para o conjunto dos n.º reais R (munido da σ-álgebra B dos borelianos de R, i.e., gerada pelas semi-retas ] − ∞, a], a ∈ R) dita borel-mensurável, ou seja, ∀B ∈ B, X −1 (B) = A ∈ A (a imagem inversa por X de todo o boreliano B real é um acontecimento da σ-álgebra de acontecimentos A). Funções de Variáveis aleatórias Funções de variáveis aleatórias Sabemos que uma transformação Borel-mensurável g : R → R de uma v.a. X definida em [Ω, A], W = g(X) : Ω → R, é ainda uma v.a. em [Ω, A], pois tem-se ∀B ∈ B, (g(X)) −1 (B) = X −1 (g −1 (B)) = A ∈ A. Funções de Variáveis aleatórias Começando pelo caso discreto, se X =    x i p i = P(X = x i ) , i ∈ I e g : R → R for uma transformação Borel-mensurável, então W = g(X) é uma v.a. com f.m.p. da forma W =    w j = g(x i ) p ∗ j = P(W = w j ) = P(g(X) = g(x i )) = ∑ {i:w j =g(x i )} p i , j ∈ J, uma vez que P(W = w j ) = ∑ i∈I P(W = w j |X = x i ) · P(X = x i ) = ∑ {i:w j =g(x i )} 1 · P(X = x i ), pois P(W = w j |X = x i ) =    1 , w j = g(x i ) 0 , w j ...