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Apuntes

``` • Subtema: Resolución de ecuaciones logarítmicas Para resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, aplicaremos propiedades de los logaritmos y simplificaciones algebraicas. a) Ecuación: $\log[5 - 4 \log(x + 2)] = 0$ Para resolver esta ecuación, recordemos que $\log(a) = 0$ implica que $a = 1$. Por lo tanto, tenemos: \[ 5 - 4 \log(x + 2) = 1 \] Resolviendo para $\log(x + 2)$: \[ 5 - 1 = 4 \log(x + 2) \] \[ 4 = 4 \log(x + 2) \] \[ \log(x + 2) = 1 \] Esto implica que $x + 2 = 10^1 = 10$, por lo que $x = 8$. b) Ecuación: $\log\left(\frac{1}{2} + x\right) = \log \frac{1}{2} - \log x$ Usando la propiedad de los logaritmos $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$, podemos reescribir la ecuación como: \[ \log\left(\frac{1}{2} + x\right) = \log\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right) \] Dado que los logaritmos son iguales, podemos igualar los argumentos: \[ \frac{1}{2} + x = \frac{\frac{1}{2}}{x} \] Multiplicando ambos lados por $x$ para eliminar la fracción: \[ x\left(\frac{1}{2} + x\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{x}{2} + x^2 = \frac{1}{2} \] Multiplicando todo por 2 para deshacernos de las fracciones: \[ x + 2x^2 = 1 \] Reordenando: \[ 2x^2 + x - 1 = 0 \] Resolvemos ...