Cap 1 2tulo 5

Apuntes

Cap ́ ıtulo 5 Transformaciones lineales En lo que sigue vamos a trabajar con una clase de funciones f : V → W que tienen dominio V y codominio W que son espacios vectoriales. Estas funciones son muy importantes pues pre- servan las estructuras de los espacios vectoriales, respetando sumas y productos por escalares. 5.1. Definiciones b ́ asicas Transformaci ́on lineal Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una funci ́on f : V → W se llama una transfor- maci ́on lineal si cumple las siguientes condiciones: 1. Dados u, v ∈ V, f (u + v) = f (u) + f (v). 2. Dados v ∈ V y α ∈ R, f (αv) = α f (v). Por brevedad usaremos la abreviatura t.l. para las transformaciones lineales. Por ejemplo, son transformaciones lineales: 1. O : V → W, tal que O(v) = O para todo v ∈ V, llamada transformaci ́on lineal nula. 2. id : V → V, tal que id(v) = v para todo v ∈ V, llamada transformaci ́on lineal identidad. Es f ́acil ver que ambas funciones cumplen las condiciones de t.l., O(v + w) = O = O + O = O(v) + O(w) 4 O(αv) = O = αO = αO(v) 4 id(v + w) = v + w = id(v) + id(w) 4 id(αv) = αv = α id(v) 4 Ejemplo 1. Verificar que f : R 3 → R 2 dada por f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 − x 2 , 2x 1 + x 3 ) es una t...