1 DERIVADAS

Apuntes

1 DERIVADAS 1. DERIVADAS 1.1. Derivadas de Orden Superior Definici ́ on 1. Considere f una funci ́ on de variable real, se definen las derivadas de orden superirior de f , si existen, por: f ′′ ( x ) = [ f ′ ( x )] ′ f ′′′′ ( x ) = [ f ′′ ( x )] ′ f (4) ( x ) = [ f ′′′ ( x )] ′ . . . f ( n ) ( x ) = [ f ( n − 1) ( x )] ′ Ejemplo: Dada la funci ́ on y = x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1, calcular y (4) . Desarrollo: Derivando la funci ́ on 4 veces se obtiene: y ′ = 3 x 2 − 4 x + 5 y ′′ = 6 x − 4 y ′′′ = 6 y (4) = 0 De este ejemplo se puede observar, que por la forma de la funci ́ on, que es un polinomio de grado 3, admite el c ́ alculo de 4 derivadas, por tanto, y de manera general, si p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n , es un polinomio de grado n , admite n + 1 derivadas. Es posible tener funciones sobre las cuales se les pueda calcular una cantidad infinita de derivadas. Consideremos el siguiente ejemplo que ilustra lo antes dicho. 1 1.1 Derivadas de Orden Superior 1 DERIVADAS Ejemplo: Sea y = x · e x . Se pide calcular y (2000) . Desarrollo: El problema nos pide calcular la derivada n ́ umero...