Integrales introducción

Apuntes

• Integrales: repaso **Integral definida:** Sea una función de variable real, continua en un intervalo cerrado \([a; b]\). La integral definida de \(f(x)\) en ese intervalo se define como: \[ A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta x \cdot f(x_i) \] Al ser una sumatoria, también se representa como: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Si logramos encontrar el valor de esta suma (el área bajo la curva) mediante estos cálculos, se dice que la función es integrable en el intervalo \([a; b]\). --- **Teorema fundamental del cálculo:** Este teorema establece que si \(g(x)\) es una función continua en \([a; b]\) y derivable en \((a; b)\), y si su derivada es \(f(x)\), es decir: \[ g'(x) = f(x) \] entonces, la integral definida de \(f(x)\) en \([a; b]\) puede expresarse como: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = g(b) - g(a) \] --- **Antiderivada:** Se define como antiderivada a una función \(F(x)\) cuya derivada es igual a \(f(x)\). Es decir, si: \[ F'(x) = f(x) \] entonces, \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\). Por ejemplo, si \(f(x) = x^2\), una antiderivada de \(f(x)\) es: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + C \] donde \(C\) es una constante arbitraria. --- **Segunda parte del...