Cálculo Di

Apuntes

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables Segundo Semestre 2024 Práctico 8 – Derivadas parciales y diferenciabilidad. 1. Calcular las derivadas parciales de cada una de las siguientes funciones f = f (x, y), especificando en cuáles puntos las derivadas existen. axα + byβ 3x y + 4y x x2y3/2 arctan(xy) log ( x + y x2 ) ey sen(x) m´ax{|x|, |y|} m´ax{x2, y3} 2. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones f = f (x, y). (a) xy (b) log(xy) (c) sin(x2 + y2) 3. Verificar que la función u(x, t) = e−a2k2t sin(kx) satisface la ecuación del calor: ut = a2uxx. 4. Estudiar la continuidad de cada función y la existencia de las derivadas direccionales respectivas. (a) f (x, y) = { (xy)/(√x2 + y2) si (x, y) 6 = (0, 0) a si (x, y) = (0, 0) (b) f (x, y) = { (exy − 1)/x si x 6 = 0 y si x = 0 (c) f (x, y) = { x3/y si y 6 = 0 0 si y = 0 (d ) f (x, y) = { xy sin 1 x cos 1 y si xy 6 = 0 a si xy = 0 (e) f (x, y) = { x3 si y ≥ 1 x3y2 si y < 1 5. Consideremos f : R2 → R tal que: f (x, y) = { 1 si 0 < y < x2 0 en otro caso Probar que exiten todas las derivadas direccionales de f en (0, 0), pero sin embargo f no es continua en (0, 0). En otras palabras derivar...