12 T3f4x56 7 f81 9 2x10. 1112

Apuntes

• Subtema: Transformación lineal \( T \) La transformación lineal \( T \) está definida como: \[ T(f(x)) = f(1 + 2x). \] 1. Para calcular el polinomio característico \( g_T(t) \) de \( T \), primero necesitamos determinar la matriz asociada a \( T \) en una base adecuada. Supongamos que consideramos la base de polinomios \( \{1, x, x^2, x^3\} \). Entonces, aplicamos \( T \) a cada uno de estos polinomios y expresamos el resultado en términos de la misma base. 2. Los eigenvalores de \( T \) se obtienen al resolver la ecuación característica, que se deriva del polinomio característico \( g_T(t) \). 3. Para cada eigenvalor \( \lambda \) de \( T \), encontramos el eigenspace \( W(\lambda; T) \) resolviendo la ecuación \( (T - \lambda I)v = 0 \), donde \( I \) es la matriz identidad. --- • Subtema: Ideal \( J \) 1. Para demostrar que el conjunto \[ J = \{ f(t)(x^3 + t^2 - 2t) + g(t)(t^2 - 1) \ | \ f(t), g(t) \in \mathbb{R}[t] \} \] es un ideal de \( \mathbb{R}[t] \), debemos mostrar que \( J \) es cerrado bajo la suma y la multiplicación por elementos de \( \mathbb{R}[t] \). - **Cierre bajo suma**: Si \( p(t), q(t) \in J \), entonces \( p(t) + q(t) \) también pertenece a...