Transformada de Fourier y Espacio de Schwartz: definiciones, funciones y propiedades básicas

Apuntes

La Transformada de Fourier. Definiciones: Sen n∈N. 1) $\left\lfloor \frac{1}{2}(R^n) \right\rfloor = \int_f f : R^n \to \mathbb{C} / f$ es medible y $$ \int_{R^n} |f(x)| \, dx < \infty $$ 2) Para $f \in \left\lfloor \frac{1}{2}(R^n) \right\rfloor$ definimos $$ \hat{f}(\tilde{x}) := (2\pi)^{n/2} \int_R \left\| \frac{1}{2} x \cdot \tilde{x} f(x) \right\| dx \quad (\tilde{x} \in R^n). $$ (Nota: que para cada $\tilde{x} \in R^n$, $|f(\tilde{x})| \leq (2\pi)^{n/2} \int_R \left\| \frac{1}{2} x \cdot \tilde{x} \right\| f(x) \right\| dx$ y por 6 tanto, $\hat{f}(\tilde{x}) \in \mathbb{C}$. La función $\hat{f} : R^n \to \mathbb{C}$ se denomina (función) transformada de Fourier de $f$. A veces escríbenos $$ \int_R f := \hat{f}. $$ 3) Definimos - Papidano - $f : R^n \to \mathbb{C}$ para todo - El estado por Observación: Sen $\alpha \in \mathbb{N}^n$ $$ |x^\alpha| = |x_1^\alpha| \leq |x_2^\alpha| $$ donde $\langle x \rangle : x_1^\alpha \to |x_1^\alpha| \leq |x_2^\alpha|$ 3) Definimos el "espacio de Schwartz" de las funciones rápidamente decrecientes como el espacio de todos los funciones f: Rⁿ → C tales que f ∈ C⁽ᵃ⁾ (Rⁿ) y tales que para todo α, β ∈ ℂⁿ, sup x ∈ ℂⁿ |x⁡α⁡ (∂βⁿf)(x)| < ∞. E...