UT II1 Teor2a de n3meros

Apuntes

UT II: Teoría de números Algoritmo de la división Dado (dividendo) y (divisor), existe un par único de enteros , q (cociente) y r 𝑏 ∈ 𝑍 𝑎 ∈ 𝑁 (resto) con , tal que: 0 ≤ 𝑟 < 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑞 + 𝑟 Dem: Definamos el conjunto 𝐷 = {𝑏 − 𝑢𝑎 ≥ 0 : 𝑢 ∈ 𝑍} 𝑏 = 327 𝑎 = 21 327 − 21𝑢 ≥ 0 Probamos algún valor de u para que se cumpla la condición: 327 − 21 · 16 =− 9 < 0 327 − 21 · 15 = 12 > 0 327 − 21 · 14 = 33 > 0 𝐷 = {12, 33, 54, 75, ... } Es fácil ver que D no es un conjunto vacío. En efecto: 1) Si , entonces (tomando u = 0) 𝑏 ≥ 0 𝑏 ∈ 𝐷 2) Si , entonces , así que (tomando u = b). 𝑏 < 0 𝑏 − 𝑏𝑎 > 0 𝑏 − 𝑏𝑎 ∈ 𝐷 Obviamente, D está acotado inferiormente por 0, por tanto, por el principio del buen ordenamiento de Z, tenemos que hay un primer elemento en D, que llamaremos r. Este número se alcanza para un valor concreto de , que llamaremos q. Así: 𝑢 ∈ 𝑍 𝑟 = 𝑏 − 𝑎𝑞 Por construcción, . Por otro lado, si tomamos tenemos 𝑟 ≥ 0 𝑢 = 𝑞 + 1 . Como (al ser ) y r ser el primer 𝑏 − 𝑎(𝑞 + 1) = 𝑏 − 𝑎𝑞 − 𝑎 = 𝑟 − 𝑎 𝑟 − 𝑎 < 𝑟 𝑎 ∈ 𝑁 elemento de D, tenemos que , es decir, . 𝑟 − 𝑎 < 0 𝑟 < 𝑎 Unic...