Calculus multivariante: Funciones, dominio, límites, derivadas y diferenciación implícita

Apuntes

• Subtema: Dominio de funciones I) Dibuje el dominio de la función dada. 1) \( f(x,y) = \sqrt{x} - \sqrt{y} \) 2) \( f(x,y) = \sqrt{(x^2)(y^2 - 4)} \) 3) \( h(x,y) = \sqrt{\ln(y - x + 1)} \) 4) \( g(x,y) = e^{\sqrt{xy + 1}} \) • Subtema: Volumen de una figura II) Determine el volumen de la figura en función de \( r, h \). Tapa Nota: La altura de la tapa es \(\frac{2}{3}\) de la altura del cilindro. • Subtema: Cálculo de límites III) Determine el valor del límite a) \(\lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}\) b) \(\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}\) c) \(\lim_{(x,y) \to (1,3)} \frac{x^2y-3x^2-y+3}{x-1}\) d) \(\lim_{(x,y) \to (-1,1)} \frac{x^3+y^3}{x^2-xy+y^2}\) e) \(\lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x^2+2xy-3y^2}{x^2-y^2}\) • Subtema: Derivadas parciales II) Para cada una de las funciones, obtener \(\frac{\partial z}{\partial x}\) y \(\frac{\partial z}{\partial y}\) a) \( z = \frac{x^3}{y^4} - x^2y^{-2} + 5 \) b) \( z = e^{4xy^2} + \ln\left(\frac{1}{y}\right) + \cos(3x) \) c) \( z = -e^{x^2\arctan(y^2)} \) d) \( z = \cos^2(5x) + \sin^2(5y) \) • Subtema: Verificación de igualdad de derivadas parciales IV) Verificar que se cumple que \( f_{xy} = f_{yx} \) i) \( f(...