3.2 As Reg

Anotacoes

•Regras de Produto e Quociente Na notação de Leibniz, a definição de derivada é expressa como dy/dx = lim_{h→0} (y(x+h) - y(x))/h. Em notação de linha: (f(t + Δt) - f(t))/Δt. Essas fórmulas permitem derivar funções formadas por multiplicação ou divisão de funções conhecidas. A Regra do Produto, por exemplo, foi inicialmente conjecturada por Leibniz após tentar uma fórmula falsa, que dizia que a derivada do produto era o produto das derivadas. Essa conjectura está incorreta, como exemplificado ao considerar funções u e v. A fórmula correta, descoberta por Leibniz, é que a derivada de u*v é u'v + uv'. Para entender sua origem, imagine que u e v são funções positivas e deriváveis, interpretando o produto como a área de um retângulo (Figura 1). Quando x varia por uma quantidade Δx, as variações em u e v levam a uma variação na área, que pode ser interpretada geometricamente. Dividindo essa variação por Δx e considerando limites, chega-se à fórmula da Regra do Produto, válida para funções deriváveis u e v, independentemente de serem positivas ou negativas. •Fórmula da Regra do Produto Se u e v são funções deriváveis, então: d/dx (u*v) = u'v + uv'. Essa regra indica que a derivada...