Transcrição 19/02/2026, 23:08:59

Anotacoes

• Dedekind e a Partição de R em A e B Teorema de Dedekind: Sejam A e B, não vazios, tais que: (1) R = A ∪ B, com A ∩ B = ∅; (2) Para todo a ∈ A e b ∈ B, temos a < b. Então, para todo r ∈ R, todo α ∈ A e todo β ∈ B, vale que: - ou A tem máximo, ou B tem mínimo. **Demonstração:** Veja W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, capítulo 1. Por isso, dizemos que Q (os racionais) não é completo, enquanto R (os reais) é completo. Portanto: Seja X ⊆ R. Dizemos que: (i) X é limitado inferiormente se, e somente se, existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ X. Nesse caso, a é uma cota (ou limite) inferior de X. (ii) X é limitado superiormente se, e somente se, existe b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X. Nesse caso, b é uma cota (ou limite) superior de X. (iii) Quando X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é um conjunto limitado. **Exemplos:** - Todo subconjunto de N (números naturais) é limitado inferiormente. - Os intervalos (0,1) e (-2,7) são limitados. - N é limitado superiormente, pois, por exemplo, N ⊆ R e, para todo n ∈ N, n < n + 1. --- • Correções e melhorias na versão alternativa do Teorema de Dedekind Teorema 4: As seguintes declarações são equiva...