An´alise M

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An´alise Matem´atica III - Integrais definidos Sara Escudeiro sarae@esac.pt Cursos: LAgro, LCFRN, LTA, LTGA, LBIO, LZoo ESAC An´alise Matem´atica III - Integrais definidos 2025-2026 1 / 43 Motiva¸c˜ao para o integral definido Como calcular o valor exacto da ´area da regi˜ao D ?a b x y y = f (x) D Seja f uma fun¸c˜ao real definida no intervalo I = [a, b] ⊂ R. Supondo que f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I, a regi˜ao D limitada pelo gr´afico de f , pelo eixo das abcissas e pelas rectas verticais x = a e x = b ´e representada por D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ f (x) ESAC An´alise Matem´atica III - Integrais definidos 2025-2026 2 / 43 Valor aproximado da ´area - por excesso e defeitoy= f (x )y= f ( x ) y= f (x ) ci ∈[xi−1 , xi ] ci ∈[xi−1 , xi ] ci ∈[xi−1 , xi ] ab ab ba A altura do rectˆangulo i ´e dada por f (ci), onde ci ´e qualquer ponto do subintervalo [xi−1, xi]. ESAC An´alise Matem´atica III - Integrais definidos 2025-2026 3 / 43 Valor aproximado da ´area - soma de Riemann • N´umero de rectˆangulos: n • Largura de cada rectˆangulo: ∆x = b − a n = xi − xi−1 • Altura do rectˆangulo i : f (ci) Valor aproximado da ´area: A ≈ nX i=1 f (ci) ∆x (soma de Riemann) Cada uma das parcelas representa...