Fundamentos da Integração: primitivas, integrais indefinidos e técnicas iniciais

Anotacoes

1 INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO Neste capítulo introduziremos o estudo da integral. Inicialmente, apresentaremos os conceitos de primitiva de uma função e integral indefinida. Em seguida, serão apresentados os métodos mais comuns para o cálculo de integrais indefinidas. 1 Notas de Aula Cálculo Diferencial 1.1 INTEGRAL INDEFINIDA Definição 1.1 Uma função F é denominada uma primitiva de f num intervalo I se F′ (x) = f (x) para todo x em I. Exemplo 1.1 (a) F (x) = x3 3 é uma primitiva da função f (x) = x2, pois F′ (x) = 1 3 · 3x2 = x2 = f (x) . (b) F (x) = 1 5 sen (5x) + C, onde C é uma constante qualquer, é uma primitiva da função f (x) = cos (5x), pois F′ (x) = 1 5 · 5 cos (5x) = cos (5x) = f (x) . (c) As funções F (x) = e−x e G (x) = e−x + 1 são primitivas da função f (x) = −e−x, pois F′ (x) = G′ (x) = −e−x = f (x) . O exemplo (1.1) sugere que uma mesma função pode admitir mais de uma primitiva. Vejamos a seguir algumas proposições neste sentido. Proposição 1.1 Se F (x) é uma primitiva de f (x) em um intervalo I, então a função G (x) = F (x) + C também é uma primitiva de f em I, onde C é uma constante qualquer. Prova Como F (x) é uma primitiva da função f (x), pela definição, F′(x) = f (...