Números reais, completude e limites: Dedekind, cota, sup/inf e exemplos

Anotacoes

• Subtema: Teorema de Dedekind e Partição de R Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, tais que: (1) R = A ∪ B, e A ∩ B = ∅. (2) Para todo α ∈ A e β ∈ B, temos que α < β. Então, para todo r ∈ R, para todo t ∈ A, temos que t < α, e para todo s ∈ B, s > β. Em particular, ou A tem máximo ou B tem mínimo. Demonstração: Veja W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, capítulo 1. Por isso, dizemos que Q (os racionais) não é completo e R (os reais) é completo. Portanto, se um corpo ordenado é completo, ele contém Q, que chamamos de corpo dos números reais. • Subtema: Definições de conjuntos limitados Definição 3: Seja X ⊆ R. Dizemos que: i) X é limitado inferiormente se, e somente se, existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ X. Nesse caso, a é uma cota (ou limite) inferior de X. ii) X é limitado superiormente se, e somente se, existe b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X. Nesse caso, b é uma cota (ou limite) superior de X. iii) Quando X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é um conjunto limitado. • Subtema: Exemplos de conjuntos limitados Exemplo 1: Todo subconjunto de N (números naturais) é limitado inferiormente. Exemplo 2: Os intervalos (0,1) e (-2,7) são limitados....