Simplificação de expressões com potências e raízes

Anotacoes

• Subtema: Simplificação de expressões com potências Revisando seus conhecimentos, temos a expressão: \[ \sqrt{2^{28} + 2^{30}} \div 10 \] Vamos analisar passo a passo para simplificar essa expressão. Primeiramente, observe que dentro da raiz, temos uma soma de potências de mesma base. Podemos fatorar o termo comum para facilitar. Note que: \[ 2^{28} + 2^{30} = 2^{28} (1 + 2^{2}) \] Porque: \[ 2^{30} = 2^{28} \times 2^{2} \] Assim, a expressão fica: \[ \sqrt{2^{28} (1 + 2^{2})} \div 10 \] Calculando o que está dentro do parêntese: \[ 1 + 2^{2} = 1 + 4 = 5 \] Portanto, a expressão é: \[ \sqrt{2^{28} \times 5} \div 10 \] A raiz quadrada de um produto é o produto das raízes: \[ \sqrt{2^{28} \times 5} = \sqrt{2^{28}} \times \sqrt{5} \] Sabemos que: \[ \sqrt{2^{28}} = 2^{28/2} = 2^{14} \] Logo, a expressão fica: \[ 2^{14} \times \sqrt{5} \div 10 \] Como 10 é \(2 \times 5\), podemos reescrever: \[ \frac{2^{14} \times \sqrt{5}}{2 \times 5} \] Dividindo numerador e denominador por 2: \[ \frac{2^{14} \times \sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{2^{14 - 1} \times \sqrt{5}}{5} = \frac{2^{13} \times \sqrt{5}}{5} \] Note que: \[ \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25...