Mostre que

Anotacoes

Mostre que 𝐜𝐬𝐜𝟔 𝒙 − 𝐜𝐨𝐭𝟔 𝒙 = 𝟏 + 𝟑 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐭𝟐 𝒙. Uma solução. Considere que: • csc 𝑥 é cossecante de x, tal que csc 𝑥 = 1 sin 𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 sin 𝑥 ≠ 0; • cot 𝑥 é cotangente de x, tal que cot 𝑥 = 1 tan 𝑥 = cos 𝑥 sin 𝑥; • 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 (i) Vamos utilizar as seguintes fatorações: • 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2); (ii) e • (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (iii). Mostraremos que o lado esquerdo é equivalente ao lado direito da igualdade (⟹), aplicando o seguinte artifício para fatoração (conforme (ii)): csc6 𝑥 − cot6 𝑥 = (csc2 𝑥)3 − (cot2 𝑥)3 = (csc2 𝑥 − cot2 𝑥)(csc4 𝑥 + csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 + cot4 𝑥). Temos: csc2 𝑥 − cot2 𝑥 = 1 (i) e (csc2 𝑥 − cot2 𝑥)2 = 12 (iii) é csc4 𝑥 − 2 csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 + cot4 𝑥 = 1, de modo que: csc4 𝑥 + cot4 𝑥 = 1 + 2 csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 Portanto: (csc2 𝑥 − cot2 𝑥)(csc4 𝑥 + csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 + cot4 𝑥) = 1 ⋅ (1 + 2 csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 + csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥) = 1 + 3 csc2 𝑥 ⋅ cot2 𝑥 ∎ Como é uma igualdade, precisamos mostrar a volta (⟸), como faríamos? Prof. Glebison