Equações D

Anotacoes

**Equações Diferenciais em Matemática Aplicada e Ciência de Dados** Eurica Henriques Email: eurica@utad.pt Departamento de Matemática, Polo II - ECT, Gab. F3.10, UTAD --- ### I. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) #### Introdução Dadas as variáveis \( x \) e \( y \), com \( y = f(x) \), chamamos de equação diferencial ordinária de ordem \( n \), onde \( n \in \mathbb{N} \), toda relação do tipo: \[ F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0 \quad (1) \] **Exemplos:** - \( y' + y = e^{2x} \) - \( y'' - 2y' + 6y = 0 \) - \( y'' - (y')^2 = x \) #### Linearidade das Equações Diferenciais A equação (1) é dita linear se \( F \) for linear na variável dependente \( y \) e em todas as suas derivadas, ou seja: \[ 0 = F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y + g(x) \] Se não cumprir essa condição, a equação é considerada não linear. **Observações:** - EDs lineares têm grau 1 em \( y \) e suas derivadas. - Cada coeficiente \( a_j(x) \) depende apenas de \( x \) e de constantes. #### Soluções de Equações Diferenciais Uma função \( \varphi : A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), com \( \varphi \in C^{n-1} \), é...